Partiet får enligt enkäterna mellan 312 och 326 mandat av kammarens totalt 577, skriver AFP.
Det är betydligt mer än vad förhandstipsen tytt på.
Om resultatet bekräftas får president François Hollande en bekväm position, utan att behöva söka stöd från De gröna eller partier längre vänsterut.
Ségolène Royal, tidigare presidentkandidat som länge levde ihop med Hollande, blev inte invald i nationalförsamlingen, rapporterar AFP.
Valdagen har föregåtts av ett pikant inslag, då det visat sig att Hollandes nuvarande livskamrat offentligt gett stöd åt en partidissident, en motkandidat till Royal.
Royal har erkänt sig besegrad.
Förutom Royal var det minst en välkänd socialist som hade motlut trots partiets framgångar i det franska valet. Förre kulturminstern Jack Lang blev inte invald i Vogeserna, där han med franska mediers ord hade luftlandsatts för att försöka ta hem ett mandat.
Nationella frontens ledare Marine Le Pen förlorade kampen om att ta plats i det franska parlamentet. Hennes socialdemokratiska rival, Philippe Kemel, har utropat sig som segrare i valdistriktet Pas-de-Calais.
Däremot verkar Le Pens syskonbarn, 22-åriga Marion Maréchal-Le Pen, ha lyckats ta en plats som yngsta ledamot någonsin. Marion Le Pen är barnbarn till Jean-Marie Le Pen som grundade högerextrema Nationella Fronten 1972.
- Målet är i högsta grad uppnått. Hon har överträffat mina förväntningar, säger han om beskedet att tredje generationen Le Pen intagit parlamentet.
