Hur symmetriska objekt roteras och speglas framstår som en relativt konkret gren av matematiken. Men området, kallat gruppteori, har lett till några av de allra största och mest komplicerade mate­matiska kartläggningarna: Monstret och E8-gruppen.
Arbetet med E8 har tagit en grupp på 18 personer fyra år, och utskrivet skulle resultatet täcka en yta motsvarande Stockholms innerstad. Men det tidigare studerade Monstret är på sätt och vis ett ännu mer komplext objekt.
– E8 framträder i 248 dimensioner medan Monstret kräver minst 196 883 dimensioner. Inuti Monstret finns de viktigaste ingredienserna till E8, men också till saker vi inte förstår än, säger professor Mark Ronan vid Illinois-universitetet i Chicago som skrivit boken ”Symmetry and the Monster”.
Det som gör symmetrigrupperna intressanta även för icke-matematiker är bland annat kopplingarna till strängteorin, ett försök att lösa fysikens problem att förena kvantmekaniken och Einsteins relativitets­teori.
– Det är modernt att hacka på strängteorin i dag och sista ordet är inte sagt om dess fysikaliska betydelse, men den har haft enorm matematisk betydelse, säger Tors­ten Ekedahl, professor i matematik vid Stockholms universitet.

Så länge symmetrierna håller sig till två och tre dimensioner kan hjärnan hänga med. Exempelvis har en kvadrat åtta symmetrier, för den kan roteras ett kvarts varv fyra gånger men också spegel­vändas och roteras ytterligare fyra gånger. En liksidig triangel har bara sex symmetrier och tillhör en annan symmetrigrupp.
Genom att utvidga resonemanget till tre dimensioner kan man likt de gamla grekerna studera de fem platonska kropparna: tetraedern, kuben, oktaedern, dodeka­edern och ikosaedern. Det visar sig då att kuben och okta­edern tillhör samma symmetrigrupp, för kubens sex sidor motsvaras av oktaederns sex hörn.
Men sedan är det naturligt för matematiker att fråga sig vad som händer i fler dimensioner. Principerna visar sig fungera på motsvarande sätt, men kalkylerna blir allt mer komplicerade. Och inte ens för matematiker är det lätt att föreställa sig saker i fyra dimensioner eller mer.
– Gruppteori är ett väldigt centralt begrepp inom matematiken. Fast utgångspunkterna är ganska enkla så dröjer det ändå till tredje terminen på högskolan innan man kommer in på det, säger professor Anders Björner, föreståndare för Mittag-Leffler-institutet.
Teknikerna för kartläggningen som ledde till Monstret var så komplicerade att de fördes vidare som ett hantverk, från mästare till gesäll, konstaterar Mark Ronan. Det pågår också ett revisionsprojekt för att framtida generationer ska förstå det enorma materialet.

Monstret tillhör det som kallas de enkla ändliga grupperna medan den E8 som nyligen kartlades tillhör de besläktade Lie-grupperna, som är oändliga.
– Norrmannen Sophus Lie kom fram till ett mycket systematiskt sätt att räkna med symmetrier, ­säger Torsten Ekedahl.
Sophus Lie (uttalas Li) levde 1842–1899 och var professor i mate­matik i Christiania (Oslo) och Leipzig. Lie-grupperna systematiserades senare till en tabell, med sju under­tabeller (A–G). Gruppen identifieras med en siffra (A1, A2 och så vida­re). E8 är sist på listan.
– Den här klassifikationen av grupper är intressant, för den ­dyker upp på många ställen i mate­matiken, till exempel i klassifikationen av de platonska kropparna, säger Anders Björner.
Så även de enkla ändliga gruppernas tabell ser likadan ut från A1 till E8. Men dessutom finns det 26 extra komplicerade grupper, de ”exceptionella”, varav den sista är den ojämförligt största: Monstergruppen. Att grupperna är enkla innebär alltså bara att de förenklats så långt det är möjligt, att de är ”symmetriatomer”. Man har bevisat att dessa är de enda som existerar och att all tänkbar ändlig symmetri kan beskrivas med hjälp av dessa grupper.

E8-gruppen och Monstret kommer alltså sist i respektive tabell.
– Först verkade de bara dela den egenskapen och att de därmed är de mest komplicerade grupperna. Men de är faktiskt mer kopplade än man trodde. Fast resultaten verkade först vara så knäppa att de fick beteckningen ”monstrous moonshine”, en ordlek som för­utom att syfta på månsken eller nonsens även står för ”hembränt”, säger Torsten Ekedahl.
Och det förde in Monstret på ett område där Lie-algebran redan tagit plats, nämligen partikelfysiken. När Nobelpristagaren 1969, Murray Gell-Mann, lyckades förutsäga förekomsten av vissa elementarpartiklar som senare bevisades experimentellt så var det en stor framgång för Lie-algebran.
Och i strängteorin, som är ett senare, ambitiöst men omstritt försök att förena alla krafter i naturen i en teori, spelar också E8 en stor roll. Och där dyker även Monstret upp. Men med hjälp av partikelaccleratorn LHC som byggs utanför Genève hoppas forskarna kunna testa teorierna.
– Så i framtiden kanske E8 ­dyker upp i verkliga livet också, just i det här elementarpartikelsammanhanget, säger Torsten Ekedahl.