I slutet av förra året gick nyheten som en löpeld i både svenska och utländska medier: den (då) 22-åriga matematikstudenten Elin Oxenhielm vid Stockholms universitet hade löst Hilberts 16:e problem! Tyvärr visade det sig ganska snabbt att Oxenhielms lösning inte höll måttet, men det är ändå värt att stanna upp och fråga sig varför just denna nyhet togs emot som en sådan sensation – trots allt löses ju dagligen en rad öppna forskningsproblem i matematiken, och många av dem av begåvade ungdomar på några och 20. (Matematiken är i högre grad än de flesta andra akademiska ämnen ett där unga snillen kan göra sig gällande; som exempel kan nämnas att Sveriges två mest välmeriterade matematiker, Lennart Carleson och Lars Hörmander, båda lyckades erövra professurer vid 27 års ålder.)

Jämte fransmannen Henri Poincaré var tysken David Hilbert vid tiden för föregående sekelskifte världens främste och mest respekterade matematiker. Han anses allmänt vara den siste som behärskade hela det matematiska kunskapsfältet; detta har sedemera blivit så vittomfattande att sådana ambitioner i dag kan avfärdas som fullkomligt orealistiska.

Den 8 augusti 1900, vid den andra internationella matematikerkongressen i Paris, höll Hilbert ett föredrag som med tiden kom att bli mycket inflytelserikt. Han angav de 23 olösta matematiska problem som han ansåg vara de viktigaste utmaningarna för det nyss påbörjade seklets matematiker. Att lösa något av problemen på Hilberts lista kom snabbt att förenas med stor prestige, och i takt med att problemen ett efter ett kunde bockas av kom de återstående att förses med ett allt starkare skimmer, så att den som i dag knäcker ett av de fem återstående problemen på listan kan räkna med en berömmelse som utan vidare kan mäta sig med en Nobelpristagares. Siffran fem kan möjligen diskuteras, då några av Hilberts problem är så pass vagt formulerade att det i någon mån är en tolkningsfråga vad det innebär att de är fullständigt lösta.

Det 16:e problemet på Hilberts lista hör emellertid till dem som utan tvivel alltjämt får anses vara olösta. Ursprungligen kom det att formuleras som – läsaren får ursäkta de svåra orden! – ett problem om algebraiska kurvor och ytor, men uppfattas i dag mer konkret som en fråga om att ge en begränsning för antalet möjliga periodiska banor som en partikel i ett så kallat polynomiellt vektorfält kan hamna i.

I sin bok Århundradets matematik. Hilbert och hans problem (Symposion, 190 s) skisserar Anders Karlqvist matematikens utveckling under 1900-talet med utgångspunkt från Hilberts 23 problem. Det mest dramatiska framsteget i denna utveckling rör problem nummer 2 på Hilberts lista, som efterfrågar ett bevis av att matematiken kan formuleras utifrån en konsistent (det vill säga icke självmotsägande) samling axiom från vilka alla matematiska sanningar kan härledas. 1930 lade den geniale österrikiske logikern Kurt Gödel fram ett bevis av att någon sådan samling av axiom inte existerar, och att varje konsistent axiomsystem som är tillräckligt omfattande för att innefatta aritmetiken (med vilken avses elementära matematiska operationer såsom de fyra räknesätten) resulterar i matematiska påståenden som inom systemet varken kan bevisas eller motbevisas. Denna så kallade ofullständighetssats tog samtiden på bar gärning, och visar på fundamentala begränsningar i matematiken. Vidare antyder den att någon universalmetod för att lösa varje tänkbart matematiskt problem inte kan finnas.

Det sista bekräftades i den med Gödel samtida engelsmannen Alan Turings arbete, som förutskickade och låg till teoretisk grund för den kommande datorutvecklingen. Den så kallade Turingmaskinen gäller än i dag som den grundläggande matematiska modellen för vad en dator och en datorberäkning egentligen är, och i en motsvarighet till Gödels ofullständighetssats visade Turing 1936 exempel på matematiskt välformulerade problem som omöjligt kan lösas med en dator. Han fortsatte att göra viktiga insatser, inte minst då han under andra världskriget var hjärnan bakom knäckandet av tyskarnas Enigma-koder – en insats som kan anses ha haft minst lika avgörande betydelse för krigets utgång som varje annan. Efter kriget kom han att skissera framtiden för en av de mest spännande inriktningarna av datorutvecklingen: artificiell intelligens. Turings liv fick ett tragiskt slut, då han blott några år senare blev ett offer för sin tids barbariska syn på homosexualitet; efter en påtvingad och förnedrande hormonbehandling tog han 1956 sitt liv.

Karlqvists berättelse om 1900-talets matematikutveckling tar slut den 24 maj 2000, 100 år (så när som på ett par månader) efter att Hilbert presenterat sin lista. Då presenterades under pompa och ståt, och (som en hyllning till Hilberts lista) åter i Paris, en ny lista över matematiska frågeställningar, som Clay Mathematics Institute i USA funnit vara de sju främsta olösta problemen av i dag. Där Karlqvist slutar tar Keith Devlin vid med sin bok The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time (Basic Books, 237 s). Initiativtagare till den nya listan är den amerikanske finansmannen Landon Clay, som noterat att matematiken är ett viktigt men gravt underfinansierat område, och därför har donerat inte mindre än 90 miljoner dollar till det nya Clay-institutet. Därtill har han låtit instifta sju priser om vardera en miljon dollar, för lösningarna till vart och ett av problemen på den nya listan.

Både Karlqvist och Devlin riktar sig med sina böcker till en bred allmänhet, och några förkunskapskrav bortom den gängse skolmatematiken ställs inte. Vad som däremot krävs av läsaren är ett äkta intresse för att vidga sitt matematiska vetande, och en vilja att anstränga sig. Och för den som är villig att göra en sådan satsning har båda böckerna en hel del att ge i form av nya insikter. Devlin är dock noga med att framhålla att den som ger sig i kast med hans bok med sikte på att kamma hem något av Clay Millennium-priserna lika gärna kan bespara sig besväret. För att uppnå verklig förståelse för matematiken vid forskningsfronten finns ingen genväg förbi mångåriga universitetsstudier, och de sju Clay Millennium-problemen ligger bortom varje möjlighet för en amatörmatematiker att ta sig an.

Den kommitté av världsledande matematiker som för Clay-institutet valt ut de sju problemen, är försiktig nog att framhålla att de med sin lista inte på samma sätt som Hilbert gör anspråk på att peka ut vilka inriktningar av matematiken som är de viktigaste för framtida forskare att ta sig an. Flera av de mest angelägna forskningsprogrammen inom matematiken har karaktär av teoribildningar där det inte på samma klatschiga vis som på andra områdan går att lyfta fram enskilda problem.

Det enda av Hilberts problem som även återfinns på den nya listan är den så kallade Riemannhypotesen, som – härom råder stor enighet bland matematiker – är det angelägnaste av alla matematikens öppna problem. En lösning skulle ha vittförgrenade konsekvenser inom de flesta av matematikens områden. Hypotesen är formulerad i termer av en ekvation inbegripande det så kallade komplexa talplanet, som är en generalisering av de vanliga reella talen och som ligger till grund såväl för växelströmslära som för kvantfysik – och för en försvarlig andel av all modern matematik. Nära relaterade till Riemannhypotesen är de redan för de gamla grekerna välkända primtalen: ett primtal är ett heltal minst lika med 2, som inte jämnt ut kan delas med några andra heltal än 1 och sig självt. De första tio primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 29, och den som försöker sig på att fortsätta uppräkningen kommer att finna att de långsamt tenderar att förekomma allt glesare. Dock finns det oändligt många, vilket redan Euklides visade med hjälp av ett vackert argument som vi matematiker än i dag älskar att demonstrera för våra elever. Andelen primtal bland de N första heltalen har senare visats vara approximativt ett delat med logaritmen för N, och ett bevis av Riemannhypotesen skulle få omedelbara och långtgående konsekvenser för hur avvikelserna från denna approximation ser ut: lite löst uttryckt medför Riemannhypotesen att dessa avvikelser ser ut som om primtalen vore slumpmässigt utplacerade på tallinjen.

Det näst mest kända av problemen på Clay Millennium-listan är det så kallade P kontra NP-problemet, och handlar liksom Turings teori om datorberäkningar. Men medan Turing befattade sig med vilka problem som över huvud taget medger datorberäkningar, så utgör P kontra NP en teoretisk precisering av frågan om vilka matematiska problem som medger snabba och effektiva datorberäkningar. Liksom Riemannhypotesen har P kontra NP-problemet stor betydelse för den krypteringsteori som används för säker informationsöverföring, såväl i militära sammanhang som när det gäller banktransaktioner på internet.

Ytterligare andra Clay Millennium-problem rör fysik på olika nivåer: ett handlar om lösningar till de differentialekvationer som styr turbulens och andra gas- och vätskeströmningar, och ett annat har djupa förbindelser med elementarpartikelfysiken.

För närvarande finns seriösa aspiranter på inte mindre än två av Clay Millennium-priserna. Den ene av dessa är ryssen Grigori Perelman, som lagt fram ett manuskript som ser ut att kunna bevisa Poincarés förmodan, vilken handlar om topologisk klassificering av tredimensionella ytor. (Topologin befattar sig med de egenskaper hos geometriska objekt som förblir oförändrade under ”mjuka” omformningar, där klipp och sammanfogningar är förbjudna. En topolog brukar skämtsamt karaktäriseras som en matematiker som inte kan skilja mellan en donut och en kaffekopp: dessa är topologiskt ekvivalenta då båda har exakt ett hål – i kaffekoppens fall, örat.) På en rad ledande universitet pågår studiegrupper där entusiastiska matematiker försöker reda ut vad Perelman gjort, och optimismen om att han verkligen skall ha bevisat Poincarés förmodan är stor.

Helt annorlunda är situationen för den fransk-amerikanske matematikern Louis de Branges. Med ett 121-sidigt manuskript som han i april i år lade ut på sin webbsida, gör han anspråk på att ha bevisat självaste Riemannhypotesen. Men de få experter som är tillräckligt väl insatta i den 70-årige de Branges metoder är alla alltför skeptiska för att vilja ta sig an det formidabla arbetet att granska hans manuskript, och utan en sådan granskning lär han knappast få något erkännande om att ha åstadkommit ett bevis. Vad som ligger de Branges i fatet är – förutom att han allmänt tycks uppfattas som en ”knäppskalle” – att han gjort tidigare försök att hävda att han visat Riemannhypotesen, i uppsatser som visat sig vara behäftade med felaktigheter. Men han har å andra sidan en rad andra tunga (och oomtvistade) resultat på sin meritförteckning, och det är svårt att frigöra sig från tanken på att de Branges kanske trots allt har bevisat Riemannhypotesen. Och blotta misstanken om att så är fallet reser oroande frågor kring matematiken, som berömmer sig om att vara den mest objektiva av vetenskaper – den som har rätt får också rätt. Men om det inte hjälper att ha rätt, och om så världsliga ting som ens relationer till matematikerkollegor avgör huruvida man också får rätt – hur objektiv kan matematiken då egentligen anses vara? (Här har jag medvetet spetsat till frågeställningen en smula, genom att inte hålla isär begreppen ”matematiken” och ”matematikersamhället”.)

Hur som helst ser det ut att finnas gott hopp om att åtminstone ett (och möjligen rentav två) av Clay Millennium-priserna inom något år eller två skall vara moget att delas ut. Detta är i så fall en stor framgång för matematiken och för Clay-institutet, men möjligen kan ett smolk i glädjebägaren för det senare bli att ordvalet Millennium framstår som bombastiskt i överkant.